Конус

Белоброва Татьян а Валерьевна

Учитель математики высшей категории

МКОУ СОШ №1 г.Сим

Челябинской области

Конусом называется тело, которое состоит из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершина конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания

• Конус называется прямым , если его высота падает в центр основания

• Если высота конуса не падает в центр основания, то конус называется наклонным

Элементы конуса

Все образующие конуса равны между собой и составляют один угол с основанием

Конус можно получить, вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из катетов.

При этом осью вращения будет прямая, содержащая высоту конуса.

Эта прямая так и называется – осью конуса

СЕЧЕНИЯ КОНУСА

Сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину и хорду основания

Осевое сечение

Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию

Сечение конуса плоскостью, не параллельной основанию

l=R

L =2 π r

Развертка боковой поверхности конуса – сектор круга, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги его равна длине окружности основания конуса, т.е. 2 π R

ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки

l=R

S БОК . = π rl

L =2 π r

ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА

Площадью полной поверхности

конуса называется сумма

площадей боковой поверхности

и основания

l=R

L =2 π r

S БОК + S кр . = π rl + π r 2

S кон. = π r· ( l + r )

Усеченным конусом

называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию

Площадь боковой поверхности усеченного конуса

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №4 г.

Людиново, Калужской области.

КОНУС

Урок по геометрии в 11 классе

Учитель математики

первой квалификационной категории:

Молоткова Светлана Сергеевна

Конус

Урок геометрии в 11 классе.

Цель:

познакомить учащихся с геометрическим телом – конусом.

Задачи:

Формирование понятий конической поверхности, конуса.

Умение определять виды сечений.

Вывод формул площади боковой поверхности и площади полной поверхности конуса.

Умение работать с рисунком и читать его.

Применение знаний в решении задач.

Оборудование на уроке:

Медиапроектор. Презентация учителя, которая снабжена гипперсылками, может применяться и на последующих уроках для проверки знаний. У каждого ученика бумажный макет конуса, ножницы. Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. сред. Шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.

1. Организационный момент.

Сообщение темы урока (слайд 1), целей урока. Проверка готовности к уроку.

Мы построим урок по плану (слайд 2).

2. Объяснение новой темы.

Рассмотрим пространственную фигуру -«круглое», геометрическое тело-конус. Рассмотрите макет.

Рассмотрим рисунок – слайд 3. Используя знания по теме «Цилиндр», постарайтесь назвать элементы конуса.

Запишем новые понятия в тетрадь и построим чертеж конуса.

Рассмотрим из каких элементов состоит конус (слайд 4).

3. Отработка полученных знаний.

Чтение графика (слайд 5).

Изобразите на макете две образующие. Что вы можете сказать о них?

Конус–тело вращения .

С помощью вращения, какой геометрической фигуры получается конус? (слайд 6)

4. Сечения конуса.

Дается учителем определение сечения. Ученики записывают. По наводящим вопросам ученики должны сказать, что собой представляет данное сечение и его основные свойства. (слайд 7-10).

5. Историческая справка.

Слайд 11-12.

РАБОТА В ГРУППАХ

6. Развертка конуса.

Разрежьте бумажный макет по одной из образующих конуса.

Что за фигура получилась. Зарисуйте в тетради. (слайд 13).

САМООСОЗНАНИЕ

7. Вывод формул площади боковой поверхности и полной поверхности конуса.

Используя развертку конуса, вывести формулу боковой поверхности конуса

Вывести формулу полной поверхности конуса

АФИШИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

(слайд 14), (слайд 15).

Представитель от каждой группы афиширует результаты.

8. Формирование умений и навыков.

Задача №547- устно (слайд 16).

Задача №549(а) с записью в тетрадях (слайд 17).

9. Подведение итогов. Рефлексия. Постановка домашнего задания.

Слайд 18.

Если позволяет время, можно провести проверочный диктант с самопроверкой (слайд 19).

Учитель математики Молоткова Светлана Сергеевна

L Рассмотрим окружность L с с с с центром О и прямую ОР перпендикулярную к плоскостиß этой окружности. O ß Р Через точку Р и каждую точку окружности проведём прямую. Поверхность образованная этими прямыми, называется конической поверхностью,а прямые – образующими конической поверхности.

L O ß Р Круг называется основанием конуса. Круг называется основанием конуса. Вершина конической поверхности – вершиной конуса. Вершина конической поверхности – вершиной конуса. Отрезки образующих, заключённых между вершиной и основанием, - образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса. Отрезки образующих, заключённых между вершиной и основанием, - образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса.

L O ß Р Ось конической поверхности называется осью конуса, а её отрезок. заключённый между вершиной и основанием, - высотой конуса. Ось конической поверхности называется осью конуса, а её отрезок. заключённый между вершиной и основанием, - высотой конуса.

Если сечение конуса проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого - диаметр основания конуса,а боковые стороны - образующие конуса. Это сечение называется осевым. Если сечение конуса проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого - диаметр основания конуса,а боковые стороны - образующие конуса. Это сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром, расположенным на оси конуса. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром, расположенным на оси конуса. α r΄r΄r΄r΄ r О΄О΄О΄О΄ О Р Радиус r΄ этого круга равен РО΄/РО r, где r – радиус основания конуса. Радиус r΄ этого круга равен РО΄/РО r, где r – радиус основания конуса.

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса (РА=r), а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса (РА=r), а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки, которая равна произведению половины длины окружности основания на образующую. За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки, которая равна произведению половины длины окружности основания на образующую. S=πrl Р А В Р А В А΄А΄А΄А΄

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления S полной поверхности конуса получается формула Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления S полной поверхности конуса получается формула S=πr(l+r) S=πr(l+r)

Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, перпендикулярно к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Возьмём произвольный конус и проведём секущую плоскость, перпендикулярно к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. О΄О΄О΄О΄ О Р Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усечённым конусом.Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса, а отрезок, соединяющий их центры, - высотой усечённого конуса. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усечённым конусом.Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усечённого конуса, а отрезок, соединяющий их центры, - высотой усечённого конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Все образующие равны друг другу Часть конической поверхности, ограничивающая усечённый конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключённые между основаниями, называются образующими усечённого конуса. Все образующие равны друг другу О΄О΄О΄О΄ О Р В А

Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольный трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольный трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикулярной к основаниям B D А С

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую, т.е. Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую, т.е. S=π(r+r΄)l,где r и r΄- радиусы оснований, l - образующая усечённого конуса. S=π(r+r΄)l,где r и r΄- радиусы оснований, l - образующая усечённого конуса. B D А С r r΄r΄r΄r΄

Есть много интересных фактов о конусе. Во многих религиях и учениях, конус имеет культовое значение. Имеется множество обрядов,в которых затрагивается магические свойства конуса, например, у ведьм и колдуний имеется ритуал - «конус силы». Есть много интересных фактов о конусе. Во многих религиях и учениях, конус имеет культовое значение. Имеется множество обрядов,в которых затрагивается магические свойства конуса, например, у ведьм и колдуний имеется ритуал - «конус силы».

И ещё один очень интересный факт, никто не задумывался для чего дамы в средневековье носили длинный конус- колпак на голове? Если вы скажете, что мода такая была, то вы ошибётесь. Ответ прост, они считали, что под колпаком собирается энергия, которая в свою очередь сделает их сильнее и умнее. И ещё один очень интересный факт, никто не задумывался для чего дамы в средневековье носили длинный конус- колпак на голове? Если вы скажете, что мода такая была, то вы ошибётесь. Ответ прост, они считали, что под колпаком собирается энергия, которая в свою очередь сделает их сильнее и умнее.

Слайд 1

Слайд 2

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,- вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Слайд 3

Р
вершина
образующие
основание
О
центр основания

Слайд 4

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Слайд 5

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 3).
В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось конуса (рис. 4).
(рис. 3).
(рис. 4)

Слайд 6

Усеченный конус
Плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает от него меньший конус. Оставшуюся часть называют усеченным конусом. Усеченный конус можно получить и как тело вращения. Усеченным конусом называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Круги O и O1 - его основания, его образующие AA1 равны между собой, прямая OO1 - ось, отрезок OO1 - высота. Его осевое сечение - равнобедренная трапеция.

Слайд 7

Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса.
Доказательство. Пусть - плоскость, параллельная плоскости основания конуса и пересекающая конус (рис.5). Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость с плоскостью основания, совмещает сечение конуса плоскостью с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности – окружность с центром на оси конуса. Теорема доказана.
(рис.5)

Слайд 8

Площадь боковой поверхности усеченного конуса: $$S = pi(R_{1} + R_{2}) cdot l $$ Объем усеченного конуса: $$V = frac{1}{3}pi H(R^{2}_{1} + R_{1} cdot R_{2} + R^{2}_{2})$$, где h - высота усеченного конуса; R1,R2 - радиусы верхнего и нижнего оснований; l - образующая.

Слайд 9

В геологии существует понятие «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину. В биологии есть понятие «конус нарастания». Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани. «Конусами» называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2–16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.

Слайд 10

Дополнительная информация о конусе
По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 млн. жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения. В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.